, если вы когда-либо прочитали расширенные учебники или документы о электронике, вы, возможно, были поражены, чтобы увидеть использование комплексных чисел, используемых при анализе цепей переменного тока. Комплексное число имеет две части: реальная часть и воображаемая часть. Я часто думал, что много книг и классов просто блеск над тем, что это действительно значит. Какая часть электроэнергии воображаемая? Почему мы это делаем?
Краткий ответ – это фазовый угол: задержка времени между напряжением и током в цепи. Как угол может быть временем? Это часть того, что мне нужно объяснить.
Сначала рассмотрите резистор. Если вы примените к нему напряжение, определенный ток будет течь, что вы можете определить законом Ом. Если вы знаете немедленное напряжение через резистор, вы можете вывести ток, и вы можете найти мощность – сколько работать, что электроэнергия будет делать. Это хорошо для тока постоянного тока через резисторы. Но компоненты, такие как конденсаторы и индукторы с ток переменного тока, не подчиняются закону Ом. Возьми конденсатор. Ток только течет, когда конденсатор заряжается или разряда, поэтому ток через него относится к скорости изменения напряжения, а не на уровне непосредственного напряжения.
Это подразумевает, что если вы затерете напряжение синусоидального волны на ток, верхняя часть напряжения будет там, где ток минимален, а верхний ток будет там, где напряжение находится на нуле. Вы можете увидеть, что на этом изображении, где желтая волна напряжения (V), а зеленая волна – тока (I). Посмотрите, как зеленая точка там, где желтая кривая пересекает ноль? И желтый топ – это то, где зеленая кривая пересекает ноль?
Эти связанные синусные и косинусные волны могут напомнить вам о чем-то – координаты X и Y точки, прокаженного по кругу с постоянной скоростью, и это наша связь с комплексными числами. К концу поста вы увидите, что это не все, что сложное, а «воображаемое» количество вообще не воображаемо.
Упрощение допущений
Начните с аудиосигнала кого-то говорящего и кормите это в вашу цепь. Это awarh с разными частотами, которые постоянно меняются. Если бы у вас была цепь с только резисторами, вы можете выбрать точку во времени, находить все присутствующие частотные компоненты или непосредственную амплитуду, вытекают немедленные токи, и вы могли бы использовать обычные методы на нем. Вы просто должны были сделать это снова и снова и снова. Если цепь включает в себя индукторы или конденсаторы, поведение которых зависит от гораздо большего, чем просто напряжение в них, это очень быстро становится очень сложной.
Вместо этого проще начать с синусоидальной волны на одной частоте и предположить, что сложный сигнал многочисленных разных частот является именно сумма многочисленных одиночных синент. Один из способов подумать о конденсаторе состоит в том, чтобы рассмотреть его резистором, который имеет более высокое сопротивление на более низких частотах. Индуктор действует как резистор, который увеличивается на более высоких частотах. Поскольку мы рассматриваем только одну частоту, мы можем преобразовать любые емкости и значения индуктивности в импеданс: сопротивление, которое является хорошей только на частоте интереса. Что гораздо больше, что мы можем представлять импеданс в качестве комплексного числа, чтобы мы могли отслеживать фазный угол схемы, который напрямую относится к определенной задержке времени между напряжением и током.
Для настоящего резистора воображаемая часть – 0. Это имеет смысл, потому что напряжение и ток находятся на фазе, и по этой причине нет времени задержки вообще. Для чистого конденсатора или индуктора реальная часть равна нулю. Реальные схемы будут иметь комбинации и, таким образом, будут иметь комбинацию реальных и мнимых частей. Такие цифры являются сложными числами, и вы можете написать их несколькими различными способами.
Комплексный обзор
Первое, что нужно помнить, так это то, что слово воображаемое является просто произвольным. Может быть, лучше забыть нормальное подразумевание слова воображаемого. Эти воображаемые величины не являются каким-то волшебным электричеством или сопротивлением. Мы используем воображаемые числа для представления временных задержек в цепях. Это все.
Существует длинная история о том, какие воображаемые цифры подразумевают чистой математики и почему они называются воображаемыми. Вы можете посмотреть это, если вы являетесь математикой, но вы должны знать, что математические книги используют символ I для воображаемой части комплексного числа. Однако, поскольку инженеры-электрики используют I для тока, мы используем J вместо этого. Вам просто нужно помнить, читая математические книги, вы увидите I, и это не ток, и это так же, как j в электрических книгах.
Есть несколько способов представлять комплексное число. Самый простой способ – написать реальную часть и воображаемую часть как добавленную вместе с j. Так что рассмотрите это:
5 + 3J.
Мы говорим, что реальная часть 5 – это 5, а мнимая часть – 3. Числа, написанные в этой форме, находятся в прямоугольном формате. Вы можете построить его на строки, как это:
Это приводит ко второму способу написать комплексное число: полярное обозначение. Если точка на графике 5 + 3J, вы можете отметить, что вектор может представлять SAМеня смысл. Он будет иметь длину или величину и угол (угол, который он делает с осью X графика). В этом случае величина составляет 5,83 (около) и угол чуть менее 31 градусов.
Это интересно, потому что это вектор, и есть много хороших математических инструментов для манипулирования векторами. Он станет действительно необходимым через минуту, потому что угол может соответствовать фазным углом в цепи, а величина имеет прямые физические отношения, а также.
Угол фазы
Помните, что я сказал, что мы делаем анализ переменного тока на одной частоте? Если вы постройте напряжение переменного напряжения и ток, проходящем через резистор на некоторой частоте, две синусоидные волны состоят точно. Это потому, что резистор не задерживает время. Мы бы сказали, что фазовый угол через резистор – это нулевые градусы.
Однако для конденсатора ток будет расти перед напряжением в течение некоторого количества времени. Это имеет смысл, если вы думаете о вашей интуиции о конденсаторах у DC. Когда конденсатор разряжен, у него нет напряжения на него, но оно будет потреблять много тока – он временно выглядит как короткое замыкание. По мере сборки заряда напряжение поднимается, но текущие падает, пока конденсатор не будет полностью заряжен. В этот момент напряжение составляет максимум, но ток равен нулю или почти так.
Индукторы имеют противоположное расположение: напряжение ведет ток, поэтому кривые будут выглядеть одинаково, но V-кривая в настоящее время является я и то, что я кривая, теперь V. Вы можете вспомнить, что с легким MneMonic Eli Ice Man, где е Напряжение так же, как в законе Ом. Когда вы говорите о смещении фазы в цепи, вы действительно подразумеваете, насколько текущие ведут или отстают напряжение на данной частоте. Это существенная идея: фазовый сдвиг или угол – это количество времени, когда текущие проводятся или отстают напряжение. Вы также можете измерить фазу между другими вещами, такими как два разных источника напряжения, но, как правило, когда вы говорите «Эта цепь, имеет фазовый сдвиг 22 градусов», вы подразумеваете напряжение против текущей временной задержки.
Имейте в виду, что синусоидная волна похожа на согнутую круг, чтобы соответствовать линию. Поэтому, если начало синусоидана находится на 0 градусов, верхняя часть положительного топа составляет 90 градусов. Второе 0 пересечения составляет 180 градусов, а отрицательный топ – 270 градусов – так же, как точки по кругу. Поскольку синусоидальная волна на фиксированной частоте, положив что-то в определенной степени, такой же, как экспрессируя время.
В случае резистора смена составляет 0 градусов. Таким образом, в сложной обозначении 100 Ом резистор составляет 100 + 0J. Это также может быть 100 °0. Для конденсатора ток поднимается до напряжения на 90 градусов, поэтому конденсатор имеет фазовый сдвиг -90. Но какова величина?
Вы, вероятно, узнали, что емкостное сопротивление равно 1 / (2πFc), где f – частота в Гц. Это величина полярной формы. Конечно, потому что -90 градусов прямо вниз по числовому линию, это также мнимая часть прямоугольной формы (и реальная часть равна нулю). Если емкостное сопротивление (Xc) равно 50, например, тогда вы можете написать 0-50J или 50∠-90. Индукторы работают так же, но реактивное реализация (XL) 2πFL, а фазовый угол составляет 90 градусов. Таким образом, индуктор с тем же реаксом будет 0 + 50J или 50-90.
Найти силу
Давайте посмотрим на быстрый пример того, что эти фазовые углы хороши для: расчетной мощности. Вы знаете, что питание – это ток времена напряжения. Таким образом, если конденсатор имеет 1 В через него (пик) и рисует 1 а через него (пик), является мощностью 1 ватт? Нет, потому что он не рисует 1 В в 1 а в то же время.
Рассмотрим это симуляцию (см. Рисунок справа). Вы можете увидеть следы слева, показать фазу фазы 90 градусов очень четко (зеленая трасса напряжение и желтый – ток). Верхнее напряжение составляет 1,85 В, а токовые пики примерно на 4,65 мА. Продукт времени напряжения ток составляет 8,6 мВт. Но это не самый лучший ответ. Сила на самом деле составляет 4,29 МВт (см. График справа). В идеальном конденсаторе власть не потребляется. Он хранится и выпущен, поэтому власть идет отрицательна. Реальные конденсаторы, конечно, проявляют некоторую потерю.
Обратите внимание, что источник питания не предлагает 4,29 МВт, но гораздо меньше. Это потому, что резистор – единственное, что потребляет власть. Напряжение и ток находятся в фазе для нее, а некоторые мощности, которые оно рассеивается, исходит из сохраненного заряда конденсатора.
Цепь
Величина вектора используется в законе Ом. Например, при 40 Гц XC примерной цепи чуть менее 400 Ом. Таким образом, общий сложный импеданс для цепи RC составляет 1000 – 400J.
Если вы адепте с векторами, вы могли бы сделать полярную, написав 1000-0 + 400∠-90. Однако, как правило, проще написать прямоугольную версию и преобразовать в полярную (Wolfram Alpha хорош в этом; просто не забудьте использовать i вместо j). Величина – это просто теорема Пифагорена, а угол легкий триг. Я не собираюсь пойти в это, но вот формула, где R и J – настоящие и мнимые части, соответственно.
mag = sqrt (r^ 2 + j ^ 2)
Фаза = Arctan (J / R)
Наш пример, то 1077∠ – 21,8.
Так какова мощность выходит из источника напряжения? Питание – E ^ 2 / R (или, на самом деле, E ^ 2 / z в этом случае). Так 25/1077 = 23 МВт пик. Моделирование показывает 22,29 и потому что я округлил несколько ценностей, достаточно близко.
Это оно?
Это не так, конечно, но это все, что вам нужно знать для многих целей. Многочисленные электронные тексты хобби Электронные тексты Sciamp на деталях и просто работают с величинами. Для легких цепей это может работать, но для чего-то сложного (без каламбура), он быстро становится волосатой.
Кстати, этот пример показал элементам последовательно. Тем не менее, вы можете добавить реактивы параллельно так же, как вы делаете резисторы параллельно.
Основные концепции, которые вам нужно помнить:
Анализ схемы переменного тока в основном происходит на одной частоте с входом синуса.
Воображаемые цифры не мнимательны.
Величины сложных чисел в полярных формах могут рассматриваться как сопротивление.
Фазовый угол – это задержка между напряжением и токовой формой волны.
Есть много деталей, которые я застыл. Вам, вероятно, не нужно знать, как я действительно квадратный корень отрицательного. Или то, как число Эйлера играет в это и простоту интеграции и дифференцирования синусоидальных волн, написанных с амплитудой и фазовым углом. Если вы заинтересованы в истории математики, воображаемые номера имеют довольно историю за ними. Если вы хотите что-то гораздо более практичное, у Khan Academy имеет несколько полезных видео. Тем не менее, что здесь охвачено, должно быть, все, что вам нужно знать, чтобы работать с цепями переменного тока.